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威力彩能買嗎? 期望值怎麼算? 期望值很高欸…該梭哈嗎?

最近的威力彩非常火熱,店面常常大排長龍。看著屢創新高的頭獎,連平常沒在買的人,也忍不住想進去試試手氣。但不禁好奇,常聽人家說威力彩期望值很低,但頭獎這麼高,期望值還會低嗎?

秉持著好奇寶寶的精神,上網搜尋徹夜研究了一整晚,心裡有一些答案了。想把計算的結果分享給大家,如果有邏輯或算的不對的地方,也歡迎大家在下方留言告訴我。

這篇文章我會分成3個部分進行討論,威力彩的制度與機率、威力彩的期望值、該買多少張威力彩才能達到效率最大化。過程會以2020/07/23的數據做為參考,推論2020/07/26目標31億的期別。中間可能會有蠻多數學運算,不想看運算的人可以跳到後面看結論。

威力彩的制度與機率

當期銷售額

以台灣的威力彩制度來說,唯一的變數只有當期銷售額,也就是說晚上8:00銷售結束的那瞬間,頭獎總額、貳獎總額、總期望值也就都決定了。這邊特別說明頭獎跟貳獎的算法。

獎金池 = 當次銷售額*0.55 – 三獎~普獎固定獎總額

頭獎 = 獎金池*0.89+累積頭獎, 貳獎 = 獎金池+累積貳獎

可以看得出,當期銷售額是影響頭獎與貳獎的關鍵。當期銷售額的特性是隨著頭獎越高、買氣越旺盛成長得越快(請參考下圖)。

當期銷售額有很多推算的方式,例如拿最近一次銷售額差去推算下期的相差推估法[圖中11=10+(10-9)]、考量銷售額成長拿近兩次銷售額差去推算下期的等差推估法{圖中11=10 + [(10-9)+(10-9)-(9-8)]},等差推估法看不懂沒關係,因為這兩個推估法都是我為了更快速講解隨便命名的,不過後續我會用對買氣估算相對保守的相差推估法來推算當期銷售額。

各獎中獎機率

關於各獎機率的計算,因為篇幅的關係,這篇就先不介紹了。詳情可以看這一篇yahoo知識+的問答,裡面寫得蠻清楚的,不過七獎的結果算錯了,算是有一點可惜的地方。

這邊因為還不知道頭獎跟貳獎的獎金算出來是多少,所以還算不出總期望值。不過可以先算出三獎~普獎的期望值總合,三普期望值。

威力彩的期望值

繼續上面的篇幅,為了推算總期望值,必須先估出當期銷售額,這邊採用等差推估法進行推算。預估的當期銷售額是(11),橘色的部分是近期銷售額(10),綠色是更上期的銷售額(9)。

算出當期銷售額後,可以一路算出頭獎總額、貳獎總額、當期頭獎出現中獎理論次數、當期貳獎出現中獎理論次數。當期理論次數是由銷售總次數*該獎機率獲得。

最後,我們可以獲得這張表。由於中獎人數是離散的,所以我們直接抓理論次數最相近整數的頭獎1人、貳獎5人來進行推算期望值

頭(貳)獎期望額 = 頭(貳)獎總額/頭(貳)獎人數
頭(貳)期望值 = 頭(貳)獎期望額*頭(貳)獎獲獎機率

期望值 = 頭獎期望值+ 貳獎期望值 + 三普期望值

以參與這場遊戲能獲得162.91這樣的期望值來說相當不錯,扣除掉入場費100,仍有+62.91。不過要注意的是,這是以機率最容易遇到的頭獎1人、貳獎5人來計算。若頭獎開出0人或2人,參與遊戲的期望值會掉落的很快。而貳獎人數對期望值的影響不大。

該買多少張威力彩才能達到效率最大化?

期望值雖大,但這屬於大數法則。也就是說,即使獲勝機率再高,把資產全押的話仍有機會慘遭滑鐵盧,導致再也無法參加遊戲,虧錢結束遊戲,沒辦法獲得理想中的期望值。那究竟要押多少才合適呢?這邊就要提到賭界大名鼎鼎的凱利公式(Kelly formula)

凱利公式原先是設計用來解決長途通訊問題。但後來被索普應用於賭場21點及股票市場而發揚光大。不知道大家有沒有想過,一個獲勝機會大但獲利少的遊戲,跟一個獲勝機會小但獲利大的遊戲,哪個遊戲長期玩下去增長率能最大?凱利獲得了答案。

假設b是賠率,p是獲勝率,則這場遊戲最應該下注的比例f

但威力彩是擁有多個賠率結果的遊戲,可能中頭獎、可能中貳獎也可能是普獎。所以需要再將這個公式進行延伸,有興趣的可以看看這篇

挖,是不是看到公式就覺得眼花了,沒關係。我們跳過這惱人的一切,直接來看電腦運算的結果吧。

藍色1是只考慮頭獎的建議下注比例,藍色2是只考慮頭獎、貳獎的建議下注比例。可以直接看藍色3,藍色3是這次威力彩的建議下注比例。但0.0000000388204是什麼概念?意思是假設手上擁有1塊錢,只該投注0.0000000388204塊錢於這場遊戲;假設是個資產30億的富翁,只該投入116.46元在這場遊戲。也就是說一個30億的富翁,Kelly會建議他買一張威力彩就好!

為什麼期望值這麼高,卻得到這樣的結果?

因為Kelly criterion追求的是,在正期望值的情況下,能讓長期增長率最大化的結果。但由前面的表格整理可以看出來,這次威力彩的高期望值其實都是由頭獎拉上來的。在不考慮頭獎的情況下,考慮貳獎及其他獎獲得的幾乎是買4張賠3張的結果。而頭獎的機會非常小,有極大的機會在還沒獲得頭獎的滋潤下,就已經淘汰出局了。這種極端的賺賠機會,就連資產30億的富翁,在Kelly criterion上也只該買一張威力彩。

結論

這次的威力彩獎金跟期望值雖然高得誘人。可是理性上,絕大多數人的資金是負擔不起連賠,獲得理論上的高期望值的。

整理這篇的目的,是希望把長期聽到的一些想法進行量化,讓大家對於買彩券這件事更有感覺。不致於懷有過度期待,又被期待落空打擊。

但人還是要有希望,偶爾參加社會運動也是蠻好玩的,更重要的是彩券的本質是在做公益。

參考資料

  1. 威力彩官網
  2. yahoo知識+
  3. 中文維基
  4. 英文維基
  5. 國外論壇

以上內容僅當參考,本人不屬專業,對資訊正確不負任何責任。彩券本屬公益性質。
如果內容有誤,也歡迎在下方留言讓我知道,我再想想是不是該再去多買幾張XD。

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